Question

（本题16分） 设函数，且，其中是自然对数的底数.（1）求与的关系；（2）若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；
（3）设，若在上至少存在一点，使得＞成立，求实数的取值范围.

Answer 1

(1)  (Ⅱ)（3）.

解：（1）由题意得 
 而，所以、的关系为         …………3分
（2）由（1）知，
令，要使在其定义域内是单调函数，只需在内满足：恒成立.                                  …    5分
①当时，，因为＞，所以＜0，＜0，
∴在内是单调递减函数，即适合题意；
②当＞0时，其图像为开口向上的抛物线，对称轴为，∴，只需，即，∴在内为单调递增函数，故适合题意. 
③当＜0时，，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为，只要，即时，在恒成立，故＜0适合题意.综上所述，的取值范围为                                 9分
（3）∵在上是减函数， ∴时，；时，，即，①当时，由（2）知在上递减＜2，不合题意； 
②当0＜＜1时，由，又由（2）知当时，在上是增函数，
∴＜，不合题意；                                  
③当时，由（2）知在上是增函数，＜2，又在上是减函数，故只需＞， ，而，
， 即 ＞2，解得＞ ，                 15分
综上，的取值范围是. ……16分
点评：本题综合考查函数性质、导数运用、分类讨论、不等式、二次函数，难题