Question

【题目】在如图所示的四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，平面，，.

（1）求证：平面；

（2）已知二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由已知可得，结合，由直线与平面垂直的判定可得平面；

（2）由（1）知，，则，，两两互相垂直，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，设，0，，由二面角的余弦值为求解，再由空间向量求解直线与平面所成角的正弦值．

（1）证明：因为四边形是等腰梯形，，，所以.又，所以，

因此，，

又，

且，，平面，

所以平面.

（2）取的中点，连接，，

由于，因此，

又平面，平面，所以.

由于，，平面，

所以平面，故，

所以为二面角的平面角.在等腰三角形中，由于，

因此，又，

因为，所以，所以

以为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系，则，，

，，

设平面的法向量为

所以，即，令，则，，

则平面的法向量，，

设直线与平面所成角为，则