题目内容

【题目】类比平面几何中的定理：△ABC中，若DE是△ABC的中位线，则有S△ADE∶S△ABC＝1∶4；若三棱锥A－BCD有中截面EFG∥平面BCD，则截得三棱锥的体积与原三棱锥体积之间的关系式为________．

【答案】

【解析】

根据由面积的性质类比推理到体积的性质，由已知“若DE是△ABC的中位线，则有S△ADE∶S△ABC＝1∶4”，我们可以类比这一性质，推理得出若三棱锥A－BCD有中截面EFG∥平面BCD，则截得三棱锥的体积与原三棱锥体积之间的关系式.

由△ABC中，若DE是△ABC的中位线，利用面积比等于边长比的平方，则有S△ADE∶S△ABC＝1∶4

我们可以根据由面积的性质类比推理到体积的性质，类比这一性质，利用体积比等于边长比的立方，

可推出：若三棱锥A－BCD有中截面EFG∥平面BCD，则截得三棱锥的体积与原三棱锥体积之间的关系式为

故答案为：

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解：计算 ，

，

① ，

② ，

由此猜想 ③ ．（*）

下面用数学归纳法证明这一猜想．

（i）当时，左边，右边，所以等式成立．

（ⅱ）假设当时，等式成立，即

④ ．

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⑤

⑥

⑦ ．

等式也成立．

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