题目内容
【题目】如图，在长方体
中，
，
，点
，
，
分别是线段
，
，
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）在线段
上有一点
，若二面角
的余弦值为
，求点
到平面
的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）以长方体
的顶点D为原点，建立空间直角坐标系，利用平面
的法向量和
垂直可证得结果；
（2）求出平面
的法向量，平面
的法向量，由二面角
的余弦值为，求出
，
，利用向量法能求出点
到平面的距离.
解：（1）证明：如图，以长方体的顶点
为原点，建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
分别是
，
，
的中点，
则
，
，
，
平面的一个法向量
，
，0，
，
，
平面，
平面.
（2）解：设点
，其中，
，
则
，
，
设平面的法向量
，
，
，
则
，取
，得
，1，
，
平面的一个法向量为
，
由二面角的余弦值为，可得
，
，化简得
，
解得
或
，
，
，，
，
，
，
点到平面的距离
.
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【题目】为了了解某省各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了
人，回答问题“某省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表
组号 | 分组 | 回答正确 的人数 | 回答正确的人数 占本组的频率 |
第1组 | [15，25） |
| 0．5 |
第2组 | [25，35） | 18 |
|
第3组 | [35，45） |
| 0．9 |
第4组 | [45，55） | 9 | 0．36 |
第5组 | [55，65] | 3 |
|
（1）分别求出
的值；
（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？
（3）在（2）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．
