题目内容

7．已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，坐标原点O到过右焦点F且斜率为1的直线的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过右焦点F且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点，在线段OF上是否存在点M（m，0），使得|MP|=|MQ|？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

分析 （1）利用椭圆的定义及性质、点到直线的距离公式即可求出；
（2）若|MQ|=|MP|，把直线l的方程与椭圆的方程联立并利用根与系数的关系即可得出．

解答 解：（1）由题意设此椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，过右焦点F且斜率为1的直线的方程为：y=x-c，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{c}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{a=\sqrt{2}}\end{array}\right.$，∴b=1，∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）假设存在点M（m，0）（0＜m＜1）满足条件，使得|MP|=|MQ|，
因为直线与x轴不垂直，
所以直线l的方程可设为y=k（x-1）（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2）．
代入椭圆方程可得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0．
由△＞0恒成立，∴x1+x2=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．（*）
∵|MQ|=|MP|，
∴$\sqrt{（{x}_{2}-m）^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}-m）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$，
又y1=k（x1-1），y2=k（x2-1）．
化为（1+k2）（x1+x2）-2m-2k2=0，
把（*）代入上式得（1+k2）×$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-2m-2k2=0，
化为m=$\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{1}{2+\frac{1}{{k}^{2}}}$，
∵k2＞0，∴0＜m＜$\frac{1}{2}$．

点评 熟练掌握椭圆的定义及性质、点到直线的距离公式、菱形的性质、直线与椭圆的相交问题的解题模式、一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．

练习册系列答案
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