题目内容
17.已知向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$满足:|$\overrightarrow{a}$|=4,|$\overrightarrow{b}$|=3,(2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$)•(2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$)=61;(1)求向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的模;
(2)若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$,作三角形ABC,点P是三角形ABC所在平面上任意一点,求($\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PB}$)•$\overrightarrow{PA}$的最小值.
分析 (1)利用向量数量积的运算性质即可得出;
(2)如图,以AC所在直线为x轴,以A为坐标原点,与AC垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系.由(1)知∠BAC=120°.($\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PB}$)•$\overrightarrow{PA}$=2x2-x+$2{y}^{2}-2\sqrt{3}y$=$2[(x-\frac{1}{4})^{2}+(y-\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}]$-$\frac{13}{8}$,即可得出.
解答 解:(1)∵|$\overrightarrow{a}$|=4,|$\overrightarrow{b}$|=3,(2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$)•(2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$)=61,
∴$4{\overrightarrow{a}}^{2}-3{\overrightarrow{b}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=64-27-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=61$;
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-6$;
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{16-12+9}=\sqrt{13}$;
(2)如图,以AC所在直线为x轴,以A为坐标原点,与AC垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系.
由(1)知cos∠BAC=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-6}{4×3}$=-$\frac{1}{2}$;
∴∠BAC=120°.
则C(3,0),B$(-2,2\sqrt{3})$,
设P(x,y),则$\overrightarrow{PB}$=$(-2-x,2\sqrt{3}-y)$,$\overrightarrow{PC}$=(3-x,-y),$\overrightarrow{PA}$=(-x,-y).
∴($\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PB}$)•$\overrightarrow{PA}$=2x2-x+$2{y}^{2}-2\sqrt{3}y$
=$2[(x-\frac{1}{4})^{2}+(y-\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}]$-$\frac{13}{8}$≥$-\frac{13}{8}$,当且仅当取P$(\frac{1}{4},\frac{\sqrt{3}}{2})$取等号.
∴($\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PB}$)•$\overrightarrow{PA}$的最小值为$-\frac{13}{8}$.
点评 本题考查了向量数量积运算性质、向量夹角公式、配方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
A. | 4 | B. | 2 | C. | $\frac{{\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{2}$ | D. | $\sqrt{2}$ |
A. | $2\sqrt{3}$ | B. | $4\sqrt{3}$ | C. | $4\sqrt{6}$ | D. | $8\sqrt{3}$ |