Question

已知点直线，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）、是轨迹上异于坐标原点的不同两点，轨迹在点、处的切线分别为、，且，、相交于点，求点的纵坐标.

Answer 1

（1）动点的轨迹方程为；（2）点的纵坐标为.

解析试题分析：（1）设动点的坐标为，直接利用题中的条件列式并化简，从而求出动点的轨迹方程；（2）先设点，利用导数求出曲线在点和点处的切线方程，并将两切线方程联立，求出交点的坐标，利用两切线垂直得到，从而求出点的纵坐标.
试题解析：（1）设，则，∵，
∴． 即，即，
所以动点的轨迹M的方程．   4分
（2）设点、的坐标分别为、，
∵、分别是抛物线在点、处的切线，
∴直线的斜率，直线的斜率.
∵,
∴, 得.  ①
∵、是抛物线上的点,
∴
∴直线的方程为,直线的方程为.
由 解得
∴点的纵坐标为.
考点：1.动点的轨迹方程；2.利用导数求切线方程；3.两直线的位置关系；4.两直线的交点