题目内容

设向量
a
=(x，2)，
b
=(x+n，2x-1)（n∈N*），函数y=
a
•
b
在[0，1]上的最大值与最小值的和为an，又数列{bn}满足：nb1+（n-1）b2+…+2bn-1+bn=(
9
10
)n-1+(
9
10
)n-2+…+
9
10
+1．
（1）求an、bn的表达式．
（2）Cn=-anbn，问数列{cn}中是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有Cn≤Ck成立，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．
分析：（1）由向量的数量积写出函数y，函数是二次函数，求出函数在[0，1]上的最值，则an可求，然后在给出的递推式中取n=n-1再写出一个，两式相减可得数列{bn}的前n项和，则bn可求；
（2）把an、bn代入cn的表达式后化为关于n的函数，由函数式的值等于0分析n的取值．
解答：解；（1）y=
a
•
b
=（x，2）（x+n，2x-1）=x2+（n+4）x-2，对称轴为x=-
n+4
2
＜0，所以函数在[0，1]上递增，
当x=0时，ymin=-2，当x=1时，ymax=n+3，∴an=-2+n+3=n+1．
又因为nb1+（n-1）b2+…+2bn-1+bn=(
9
10
)n-1+(
9
10
)n-2+…+
9
10
+1                   ①
令n=n-1，则(n-1)b1+(n-2)b2+…+bn-1=(
9
10
)n-2+(
9
10
)n-3+…+
9
10
+1     ②
①-②得：b1+b2+…+bn-1+bn=(
9
10
)n-1
所以Sn=(
9
10
)n-1
当n=1时，b1=S1=1，
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=(
9
10
)n-1-(
9
10
)n-2=-
1
10
•(
9
10
)n-2
所以bn=
1n=1
-
1
10
•(
9
10
)n-2n≥2

（2）Cn=-anbn=
-2n=1
n+1
10
•(
9
10
)n-2n≥2
，设存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有Cn≤Ck成立，
因为C2-C1=
3
10
+2=
23
10
＞0，所以C2＞C1，
当n≥2时，Cn+1-Cn=(
9
10
)n-2•
8-n
100
，所以当n＜8时，Cn+1＞Cn
当n=8时，Cn+1=Cn，当n＞8时，Cn+1＜Cn
∴C1＜C2＜…＜C8=C9＞C10＞…，
∴存在正整数k=8或9，使得对于任意的正整数n，都有Cn≤Ck成立．
点评：本题考查了数列的递推式及数列与不等式的综合，训练了错位相减法，在给出数列的前n项和后，求数列通项时一定要讨论n=1时的情况．
练习册系列答案
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设向量
a
=(x，2)，
b
=(x+n，2x-1) (n∈N+)，函数y=
a
•
b
在[0，1]上的最小值与最大值的和为an，又数列{bn}满足：nb1+(n-1)b2+…+bn=(
9
10
)n-1+(
9
10
)n-2+…+(
9
10
)+1
（1）求证：an=n+1；
（2）求bn的表达式；
（3）cn=-an•bn，试问数列{cn}中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有cn≤ck成立？证明你的结论．
设向量
a
=(x，2)，
b
=(2，1)，若
a
和
b
的夹角为锐角，则实数x的取值范围为
 
．
设向量
a 
=(x ， 2)，
b 
=(x+n ， 2x-1)（n为正整数），函数y=
a 
•
b 
在[0，1]上的最小值与最大值的和为an，又数列{bn}满足：nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=(
9
10
)n-1+(
9
10
)n-2+…+
9
10
+1．
（1）求证：an=n+1（2）．
（2）求bn的表达式．
（3）若cn=-an•bn，试问数列{cn}中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有cn≤ck成立？证明你的结论．（注：
a 
=( a1 ，a2 )与
a 
={ a1 ，a2 }表示意义相同）
（2012•嘉定区三模）设向量
a
=(x ， 2)，
b
=(x+n ， 2x-1)（n∈N*），函数y=
a
•
b
在x∈[0，1]上的最小值与最大值的和为an，又数列{bn}满足b1=1，b1+b2+…+bn=(
9
10
)n-1．
（1）求证：an=n+1；
（2）求数列{bn}的通项公式；
（3）设cn=-an•bn，试问数列{cn}中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有cn≤ck成立？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．

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