题目内容

设向量
a
=(x，2)，
b
=(x+n，2x-1) (n∈N+)，函数y=
a
•
b
在[0，1]上的最小值与最大值的和为an，又数列{bn}满足：nb1+(n-1)b2+…+bn=(
9
10
)n-1+(
9
10
)n-2+…+(
9
10
)+1
（1）求证：an=n+1；
（2）求bn的表达式；
（3）cn=-an•bn，试问数列{cn}中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有cn≤ck成立？证明你的结论．
分析：（1）由y=x（x+n）+4x-2=x2+（4+n）x-2在[0，1]上为增函数，知an=n+1
（2）由nb1+(n-1)b2++bn=(
9
10
)n-1+(
9
10
)n-2++(
9
10
)+1=10[1-(
9
10
)n](n-1)b1+(n-2)b2++bn-1=(
9
10
)n-2+(
9
10
)n-3++(
9
10
)+1=10[1-(
9
10
)n-1]可bn=
1    n=1
-
1
10
•(
9
10
)n-2  n≥2

（3）由题意知cn=-
n+1
10
•(
9
10
)n-2，
ck
ck-1
≥1
ck
ck+1
≥1
?k=9或8，由此可知存在k=8，9使得cn≤ck对所有的n∈N*成立
解答：解：（1）∵
a
=(x，2)，
b
=(x+n，2x-1) (n∈N+)，
∴函数y=
a
•
b
=x（x+n）+4x-2=x2+（4+n）x-2
判断知，此函数在[0，1]上为增函数，
∴an=-2+1+4+n-2=n+1
（2）nb1+(n-1)b2+…+bn=(
9
10
)n-1+(
9
10
)n-2+…+(
9
10
)+1=10[1-(
9
10
)n](n-1)b1+(n-2)b2+…+bn-1=(
9
10
)n-2+(
9
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)n-3+…+(
9
10
)+1=10[1-(
9
10
)n-1]
两式相减得：b1+b2+…+bn=(
9
10
)n-1
由上式得b1+b2+…+bn-1=(
9
10
)n-2
两式作差得bn=-
1
10
•(
9
10
)n-2，n≥2
又n=1时，b1=1
所以bn=
1    n=1
-
1
10
•(
9
10
)n-2  n≥2

（3）n≥2时，cn=
n+1
10
•(
9
10
)n-2，
令
ck
ck-1
≥1
ck
ck+1
≥1
?k=9或8
验证知，当n=1，2也满足
故存在k=8，9使得cn≤ck对所有的n∈N*成立
点评：本题考查数列的性质及其应用，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答．
练习册系列答案
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设向量
a
=(x，2)，
b
=(2，1)，若
a
和
b
的夹角为锐角，则实数x的取值范围为
 
．
设向量
a 
=(x ， 2)，
b 
=(x+n ， 2x-1)（n为正整数），函数y=
a 
•
b 
在[0，1]上的最小值与最大值的和为an，又数列{bn}满足：nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=(
9
10
)n-1+(
9
10
)n-2+…+
9
10
+1．
（1）求证：an=n+1（2）．
（2）求bn的表达式．
（3）若cn=-an•bn，试问数列{cn}中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有cn≤ck成立？证明你的结论．（注：
a 
=( a1 ，a2 )与
a 
={ a1 ，a2 }表示意义相同）
设向量
a
=(x，2)，
b
=(x+n，2x-1)（n∈N*），函数y=
a
•
b
在[0，1]上的最大值与最小值的和为an，又数列{bn}满足：nb1+（n-1）b2+…+2bn-1+bn=(
9
10
)n-1+(
9
10
)n-2+…+
9
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+1．
（1）求an、bn的表达式．
（2）Cn=-anbn，问数列{cn}中是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有Cn≤Ck成立，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．
（2012•嘉定区三模）设向量
a
=(x ， 2)，
b
=(x+n ， 2x-1)（n∈N*），函数y=
a
•
b
在x∈[0，1]上的最小值与最大值的和为an，又数列{bn}满足b1=1，b1+b2+…+bn=(
9
10
)n-1．
（1）求证：an=n+1；
（2）求数列{bn}的通项公式；
（3）设cn=-an•bn，试问数列{cn}中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有cn≤ck成立？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．

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