题目内容
(2012•嘉定区三模)设向量
=(x , 2),
=(x+n , 2x-1)(n∈N*),函数y=
•
在x∈[0,1]上的最小值与最大值的和为an,又数列{bn}满足b1=1,b1+b2+…+bn=(
)n-1.
(1)求证:an=n+1;
(2)求数列{bn}的通项公式;
(3)设cn=-an•bn,试问数列{cn}中,是否存在正整数k,使得对于任意的正整数n,都有cn≤ck成立?若存在,求出所有满足条件的k的值;若不存在,请说明理由.
a |
b |
a |
b |
9 |
10 |
(1)求证:an=n+1;
(2)求数列{bn}的通项公式;
(3)设cn=-an•bn,试问数列{cn}中,是否存在正整数k,使得对于任意的正整数n,都有cn≤ck成立?若存在,求出所有满足条件的k的值;若不存在,请说明理由.
分析:(1)利用函数y=
•
在x∈[0,1]上的最小值与最大值的和为an,结合向量数量积公式,可得结论;
(2)再写一式,两式相减,即可求数列{bn}的通项公式;
(3)由题意,ck为{cn}的最大项,则k≥2,要使ck为最大值,则
,解不等式,即可求得k的取值.
a |
b |
(2)再写一式,两式相减,即可求数列{bn}的通项公式;
(3)由题意,ck为{cn}的最大项,则k≥2,要使ck为最大值,则
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解答:(1)证明:由已知,y=x(x+n)+2(2x-1)=x2+(4+n)x-2…(2分)
而函数y在x∈[0,1]上是增函数,…(3分)
所以an=-2+1+4+n-2=n+1.…(4分)
(2)解:因为b1+b2+…+bn=(
)n-1,
所以b1+b2+…+bn-1=(
)n-2(n≥2),…(6分)
两式相减,得bn=-
•(
)n-2(n≥2).…(8分)
所以,数列{bn}的通项公式为bn=
…(10分)
(3)解:因为c1=-a1•b1=-2<0,cn=-an•bn=
•(
)n-2>0(n≥2),…(12分)
由题意,ck为{cn}的最大项,则k≥2,
要使ck为最大值,则
…(13分)
即
…(14分)
解得k=9或k=8. …(15分)
所以存在k=8或9,使得cn≤ck成立.…(16分)
而函数y在x∈[0,1]上是增函数,…(3分)
所以an=-2+1+4+n-2=n+1.…(4分)
(2)解:因为b1+b2+…+bn=(
9 |
10 |
所以b1+b2+…+bn-1=(
9 |
10 |
两式相减,得bn=-
1 |
10 |
9 |
10 |
所以,数列{bn}的通项公式为bn=
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(3)解:因为c1=-a1•b1=-2<0,cn=-an•bn=
n+1 |
10 |
9 |
10 |
由题意,ck为{cn}的最大项,则k≥2,
要使ck为最大值,则
|
即
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解得k=9或k=8. …(15分)
所以存在k=8或9,使得cn≤ck成立.…(16分)
点评:本题考查数列与向量的综合,考查数列的通项,考查恒成立问题,求得数列的通项是关键.

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