Question

2．已知P（a，b）是圆x²+y²=r²外一定点．PA、PB是过P点的圆的两条切线，A、B为切点．求证：直线AB的方程为ax+by=r²．

Answer 1

分析 根据题意，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），求出经过点A、点B的圆的切线分别为x₁x+y₁y=r²、x₂x+y₂y=r²．而点P是这两条直线的公共点，代入直线方程并利用比较系数法，可得所求直线AB的方程．

解答 证明：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则设P（x，y）为过A的切线上一点，可得$\overrightarrow{AP}$=（x-x₁，y-y₁）
∵$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{OA}$=0，得x₁（x-x₁）+y₁（y-y₁）=0，化简得x₁x+y₁y=x₁²+y₁²
∵点A在圆x²+y²=r²上，可得x₁²+y₁²=r²
∴经过点A的圆的切线为x₁x+y₁y=r²，
同理可得经过点B的圆的切线为x₂x+y₂y=r²．
又∵点P（a，b）是两切线的交点，
∴可得ax₁+by₁=r²，说明点A（x₁，y₁）在直线ax+by=r²上；
同理ax₂+by₂=r²，说明点B（x₂，y₂）在直线ax+by=r²上
因此可得直线AB方程为：ax+by=r²．

点评 本题求圆的切点弦所在直线方程，解题量请注意与所学过圆上一点的切线的联系，体现由不熟悉向熟悉的转化，并注意直线方程形的特点，属于中档题．