题目内容
【题目】椭圆经过点
,左、右焦点分别是
,
,
点在椭圆上,且满足
的
点只有两个.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过且不垂直于坐标轴的直线
交椭圆
于
,
两点,在
轴上是否存在一点
,使得
的角平分线是
轴?若存在求出
,若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.
【解析】
(Ⅰ)由题得点为椭圆的上下顶点,得到a,b,c的方程组,解方程组即得椭圆的标准方程;(Ⅱ)设直线
的方程为
,联立直线和椭圆方程得到韦达定理,根据
得到
. 所以存在点
,使得
的平分线是
轴.
解:(I)由题设知点为椭圆的上下顶点,所以
,b=c,
,
故,
,
故椭圆方程为
.
(Ⅱ)设直线的方程为
,联立
消
得
设,
坐标为
,
则有
,
,又
,
假设在轴上存在这样的点
,使得
轴是
的平分线,则有
而
将,,
代入
有
即
因为,故
. 所以存在点
,使得
的平分线是
轴.
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