Question

【题目】某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.8元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照 分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）假设用抽到的100户居民月用水量作为样本估计全市的居民用水情况．
（ⅰ）现从全市居民中依次随机抽取5户，求这5户居民恰好3户居民的月用水量都超过12吨的概率；
（ⅱ）试估计全市居民用水价格的期望（精确到0.01）；
（Ⅱ）如图2是该市居民李某2016年1～6月份的月用水费 （元）与月份 的散点图，其拟合的线性回归方程是 ．若李某2016年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的用水吨数．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）（ⅰ）由题意，从全市居民中依次随机抽取5户，每户居民月用水量超过12吨的概率为 ，因此这5户居民恰好3户居民的月用水量都超过12吨的概率为
．
（ⅱ）由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，可得居民每月的水费数据分组与概率分布表如下：

月用水量 （吨）
价格 (元/吨)	4	4.20	4.60
概率	0.9	0.06	0.04

所以全市居民用水价格的期望 吨．
（Ⅱ）设李某2016年1～6月份的月用水费 （元）与月份 的对应点为 ，它们的平均值分别为 ，则 ，又点 在直线 上，所以 ，因此 ，所以7月份的水费为 元．
设居民月用水量为 吨，相应的水费为 元，则
，即：

当 时， ，
所以李某7月份的用水吨数约为13吨．
【解析】（1）由题意，从全市居民中依次随机抽取5户，每户居民月用水量超过112吨的概率为，即可求这5户居民的月用水量都超过12吨的概率，（2）由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，可得居民每月的水费数据分组与概率分布表，即可估计全市居民用水价格的期望，（3）求出7月份的水费为294.6-240=54.6元，居民月用水量为t吨，相应的水费为f（t）元，即可得出结论.