题目内容
【题目】如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC与BD相交于点O,AE⊥平面ABCD,CF//AE,AB=AE=2.
(1)求证:BD⊥平面ACFE;
(2)当直线FO与平面BDE所成的角为45°时,求二面角B﹣EF﹣D的余弦值.
【答案】
(1)证明:在菱形 中,可得
,又因为
平面
,
,且
平面
(2)解:取 的中点为
,以
为坐标原点,以
为
轴,以
为
轴,以
为
轴,建立空间直角坐标系,则
,则
,设平面
的法向量
,
由 ,也就是
,可取
①
则 ,解得
,故
设平面 的法向量为
设平面 的法向量为
,
同理①可得
则 ,则二面角
的余弦值为
【解析】本题主要考查空间二面角的求法以及线面垂直的判定定理的应用。(1)主要是利用线面垂直的判定定理和性质定理进行证明。(2)建立空间直角坐标系,利用向量坐标进行求解。
【考点精析】关于本题考查的直线与平面垂直的判定,需要了解一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能得出正确答案.
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