题目内容

【题目】选修:坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l过点M10),倾斜角为

)求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程;

)若曲线C经过伸缩变换后得到曲线C′,且直线l与曲线C′交于AB两点,求|MA|+|MB|

【答案】(1)x22+4y2=4 ,(t为参数);(2).

【解析】试题分析:

()极坐标方程化简直角坐标方程可得曲线C的直角坐标方程为(x22+4y2=4,利用点的坐标和倾斜角可得直线的参数方程为,(t为参数);

()利用题意求得伸缩变换之后的方程,然后利用弦长公式可得弦长为 .

试题解析:

∵曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0ρ2﹣4ρcosθ+2sin2θ=0

∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x+3y2=0,整理,得(x﹣22+4y2=4

∵直线l过点M10),倾斜角为

∴直线l的参数方程为,即,(t是参数).

∵曲线C经过伸缩变换后得到曲线C′

∴曲线C′为:(x﹣22+y2=4

把直线l的参数方程,(t是参数)代入曲线C′:(x﹣22+y2=4

得:

AB对应的参数分别为t1t2,则t1+t2=t1t2=﹣3

|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|===

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