Question

【题目】已知函数f(x)＝x2－ax＋ln(x＋1)(a∈R)．

(1)当a＝2时，求函数f(x)的极值点；

(2)若函数f(x)在区间(0，1)上恒有f′(x)＞x，求实数a的取值范围；

(3)已知a＜1，c1＞0，且cn＋1＝f′(cn)(n＝1，2，…)，证明数列{cn}是单调递增数列．

Answer 1

【答案】解析

【解析】(1)当a＝2时，f(x)＝x2－2x＋ln(x＋1)，

f′(x)＝2x－2＋＝.

令f′(x)＝0，得x＝±.

当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；

当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．

当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．

所以函数f(x)的极大值点为x＝－，极小值点为x＝.

(2)因为f′(x)＝2x－a＋，

由f′(x)＞x，得2x－a＋＞x，

所以由题意知，a＜x＋ (0＜x＜1)恒成立．

又x＋＝x＋1＋－1≥1，当且仅当x＋1＝，即x＝0时等号成立．

所以a≤1.

故所求实数a的取值范围为(－∞，1]．

(3)证明：①当n＝1时，c2＝f′(c1)＝2c1－a＋.

因为c1＞0，所以c1＋1＞1，又a＜1，

所以c2－c1＝c1－a＋＝c1＋1＋－(a＋1)＞2－(a＋1)＝1－a＞0，

所以c2＞c1，即当n＝1时结论成立．

②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时结论成立，即ck＋1＞ck＞0，

当n＝k＋1时，

ck＋2－ck＋1＝ck＋1－a＋＝ck＋1＋1＋－(a＋1)＞2－(a＋1)＝1－a＞0.

所以ck＋2＞ck＋1，即当n＝k＋1时结论成立．

由①②知数列{cn}是单调递增数列．