题目内容
【题目】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，离心率为
，过作直线
与椭圆
交于
，
两点，
的周长为8．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）问：的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）由离心率得
，再利用
的周长为8得
，从而得到
的值，进而得到椭圆的方程；
（2）将的内切圆面积的最大值转化为求
的值最大，设
，
，直线
，从而将面积表示成关于
的函数，再利用换元法研究函数的最值.
（1）
离心率为
，
，
的周长为8，
，得，
，
，
因此，椭圆
的标准方程为．
（2）设的内切圆半径为
，
，
又
，
，
要使的内切圆面积最大，只需的值最大．
设，，直线，
联立
消去
得：
，
易得
，且
，
，
所以
，
设
，则
，
设
，
，所以
在
上单调递增，
所以当
，即
时，的最大值为3，
此时
，所以的内切圆面积最大为．
【题目】随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯，由此催生了一批外卖点餐平台．已知某外卖平台的送餐费用与送餐距离有关（该平台只给5千米范围内配送），为调査送餐员的送餐收入，现从该平台随机抽取100名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计结果如表：
送餐距离（千米） | （0，1] | （1，2] | （2，3] | （3，4] | （4，5] |
频数 | 15 | 25 | 25 | 20 | 15 |
以这100名用户送餐距离位于各区间的频率代替送餐距离位于该区间的概率．
（1）若某送餐员一天送餐的总距离为100千米，试估计该送餐员一天的送餐份数；（四舍五入精确到整数，且同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
（2）若该外卖平台给送餐员的送餐费用与送餐距离有关，规定2千米内为短距离，每份3元，2千米到4千米为中距离，每份7元，超过4千米为远距离，每份12元．记X为送餐员送一份外卖的收入（单位：元），求X的分布列和数学期望．
【题目】某城市对一项惠民市政工程满意程度（分值：
分）进行网上调查，有2000位市民参加了投票，经统计，得到如下频率分布直方图（部分图）：
现用分层抽样的方法从所有参与网上投票的市民中随机抽取
位市民召开座谈会，其中满意程度在
的有5人．
（1）求的值，并填写下表（2000位参与投票分数和人数分布统计）；
满意程度（分数） |
|
|
|
|
|
人数 |
（2）求市民投票满意程度的平均分（各分数段取中点值）；
（3）若满意程度在的5人中恰有2位为女性，座谈会将从这5位市民中任选两位发言，求男性甲或女性乙被选中的概率．
【题目】2020年4月8日零时正式解除离汉通道管控，这标志着封城76天的武汉打开城门了.在疫情防控常态下，武汉市有序复工复产复市，但是仍然不能麻痹大意，仍然要保持警惕，严密防范、慎终如始.为科学合理地做好小区管理工作，结合复工复产复市的实际需要，某小区物业提供了
，
两种小区管理方案，为了了解哪一种方案最为合理有效，物业随机调查了50名男业主和50名女业主，每位业主对，两种小区管理方案进行了投票（只能投给一种方案），得到下面的列联表：
|
| |
男业主 | 35 | 15 |
女业主 | 25 | 25 |
（1）分别估计，方案获得业主投票的概率；
（2）判断能否有95％的把握认为投票选取管理方案与性别有关.
附：
.
|
|
|
|
|
|
|
|
