Question

【题目】已知函数f（x）=|x+1|． （I）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；
（Ⅱ）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．

Answer 1

【答案】解：（I）不等式f（x）＜|2x+1|﹣1，即|x+1|＜|2x+1|﹣1， ∴ ①，或 ②，或 ③．
解①求得x＜﹣1；解②求得x∈；解③求得x＞1．
故要求的不等式的解集M={x|x＜﹣1或 x＞1}．
（Ⅱ）证明：设a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，
则 f（ab）=|ab+1|，f（a）﹣f（﹣b）=|a+1|﹣|﹣b+1|．
∴f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]=f（ab）+f（﹣b）﹣f（a）=|ab+1|+|1﹣b|﹣|a+1|
=|ab+1|+|b﹣1|﹣|a+1|≥|ab+1+b﹣1|﹣|a+1|=|b（a+1）|﹣|a+1|
=|b||a+1|﹣|a+1|=|a+1|（|b|﹣1|）＞0，
故f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）成立
【解析】（I）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由题意可得|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，化简f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]为|a+1|（|b|﹣1|）＞0，从而证得不等式成立．
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．