题目内容
学校操场边有一条小沟,沟沿是两条长150米的平行线段,沟宽
为2米,，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为
，对称轴与地面垂直，沟深2米，沟中水深1米．
（Ⅰ）求水面宽；
（Ⅱ）如图1所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，求沟中的水有多少立方米？
（Ⅲ）现在学校要把这条水沟改挖(不准填土)成截面为等腰梯形的沟，使沟的底面与地面平行，沟深不变，两腰分别与抛物线相切（如图2），问改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的土最少？
（Ⅰ）
;（Ⅱ）
；（Ⅲ）
;
解析试题分析：（Ⅰ）建立适当直角坐标系，设抛物线方程为
，由抛物线过点
，可得
，可求出抛物线方程为
，当
时，
，由求出水面宽为（米）；
（Ⅱ）利用定积分求出曲面的面积，再利用柱体的体积公式求出体积；
（Ⅲ）易知为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须同抛物线相切，设切点
是抛物线弧
上的一点，过
作抛物线的切线得到如上图所示的直角梯形
，则切线
的方程为：
，于是
，记梯形的面积为
，则
，利用基本不等式求出
当且仅当
，
时，等号成立，所以改挖后的沟底宽为米时，所挖的土最少.
试题解析：（Ⅰ）如图建立直角坐标系，
设抛物线方程为．
则由抛物线过点，可得．
于是抛物线方程为．
当时，，由此知水面宽为（米）．
（Ⅱ）
（立方米）
（Ⅲ）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须同抛物线相切．
设切点是抛物线弧上的一点，过作抛物线的切线得到如上图所示的直角梯形，则切线的方程为：，于是．
记梯形的面积为，则
，
当且仅当，时，等号成立，所以改挖后的沟底宽为米时，所挖的土最少.
考点：1.抛物线的标准方程；2.定积分的应用；3.基本不等式在求函数的最值中的应用.
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若P是曲线y＝F(x)上异于原点O的任意一点，在曲线y＝F(x)上总存在另一点Q，使得△POQ中的∠POQ为钝角，且PQ的中点在y轴上，求a的取值范围．
(f′(x)是f(x)的导函数)在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围；
×…×
<
(n≥2，n∈N*)
.
.的单调区间；
的极值.
的图像过坐标原点
，且在点
处的切线斜率为
.
的值；
在区间
上的最小值；
的图像上存在两点
，使得对于任意给定的正实数
都满足
是以
轴上，求点
的横坐标的取值范围.
上的函数
同时满足以下条件：
在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；
是偶函数；
y＝x＋2垂直．
＝
，若存在实数x∈[1，e]，使
<
为函数
图象上一点，
为坐标原点，记直线
的斜率
．
在区间
上存在极值，求实数
的取值范围；
，
，有
，求实数
的取值范围．
.
，求
在点
处的切线方程；
R
有唯一公共点；
，比较
与
的大小，并说明理由。