Question

定义在上的函数同时满足以下条件：
①在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；
②是偶函数；
③在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直．
(1)求函数＝的解析式；
(2)设g(x)＝，若存在实数x∈[1，e]，使<，求实数m的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）.

解析试题分析：（1）利用已知条件可知f′(x)＝3ax²＋2bx＋c中b＝0，且f′(1)＝3a＋2b＋c＝0，另外根据条件③知f′(0)＝c＝－1，从而能够求出a，b，c的值；（2）对于恒成立求参数m的取值范围，可以利用分离参数法，得到m>xlnx－x³＋x，构造函数M(x)＝xlnx－x³＋x，通过两次求导，得到M(x)在[1，e]上递减，且M(x)的最小值为2e－e³，故m>2e－e³.
试题解析：（1）f′(x)＝3ax²＋2bx＋c，∵f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，
∴f′(1)＝3a＋2b＋c＝0①
由f′(x)是偶函数得：b＝0②
又f(x)在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直，f′(0)＝c＝－1③
由①②③得：a＝，b＝0，c＝－1，即f(x)＝x³－x＋3.
（2）由已知得：存在实数x∈[1，e]，使lnx－<x²－1
即存在x∈[1，e]，使m>xlnx－x³＋x
设M(x)＝xlnx－x³＋x　x∈[1，e]，则M′(x)＝lnx－3x²＋2
设H(x)＝lnx－3x²＋2，则H′(x)＝－6x＝
∵x∈[1，e]，∴H′(x)<0，即H(x)在[1，e]上递减
于是，H(x)≤H(1)，即H(x)≤－1<0，即M′(x)<0
∴M(x)在[1，e]上递减，∴M(x)≥M(e)＝2e－e³
于是有m>2e－e³为所求．
考点：1.函数的奇偶性与利用导函数求最值；2.恒成立求参数取值范围问题.