题目内容
如下图,已知△OFQ的面积为S,且·=1,
(1)若S的范围为<S<2,求向量与的夹角θ的取值范围;
(2)设||=c(c≥2),S=c,若以O为中心,F为焦点的椭圆经过点Q,当||取得最小值时,求此椭圆的方程.
(1)若S的范围为<S<2,求向量与的夹角θ的取值范围;
(2)设||=c(c≥2),S=c,若以O为中心,F为焦点的椭圆经过点Q,当||取得最小值时,求此椭圆的方程.
(1) <θ<arctan4.
(2) 椭圆方程为.
(2) 椭圆方程为.
本题考查向量的基本知识、三角知识及最值问题在解析几何中的综合运用.
(1)∵·=1,∴||·||·cosθ=1.
又||·||·sin(180°-θ)=S,
∴tanθ=2S,S=.
又<S<2,∴<<2,即1<tanθ<4,
∴<θ<arctan4.
(2)以所在的直线为x轴,以的过O点的垂线为y轴建立直角坐标系(如下图).
∴O(0,0),F(c,0),Q(x0,y0).
设椭圆方程为+=1.
又·=1,S=c,
∴(c,0)·(x0-c,y0)="1. " ①
·c·|y0|=c. ②
由①得c(x0-c)=1x0=c+.
由②得|y0|=.
∴||==.
∵c≥2,
∴当c=2时,||min==,
此时Q(,±),F(2,0).
代入椭圆方程得
∴a2=10,b2=6.
∴椭圆方程为.
评析:新知识(向量)在几何中的应用是值得关注的趋势.
(1)∵·=1,∴||·||·cosθ=1.
又||·||·sin(180°-θ)=S,
∴tanθ=2S,S=.
又<S<2,∴<<2,即1<tanθ<4,
∴<θ<arctan4.
(2)以所在的直线为x轴,以的过O点的垂线为y轴建立直角坐标系(如下图).
∴O(0,0),F(c,0),Q(x0,y0).
设椭圆方程为+=1.
又·=1,S=c,
∴(c,0)·(x0-c,y0)="1. " ①
·c·|y0|=c. ②
由①得c(x0-c)=1x0=c+.
由②得|y0|=.
∴||==.
∵c≥2,
∴当c=2时,||min==,
此时Q(,±),F(2,0).
代入椭圆方程得
∴a2=10,b2=6.
∴椭圆方程为.
评析:新知识(向量)在几何中的应用是值得关注的趋势.
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