Question

9．数列{a_n}中，a₁=a＞0，a≠1，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{1+{a}_{n}}$，数列{b_n}满足a_nb_n=1-a_n．
（1）求证：{b_n}为等比数列，并求a_n；
（2）试确定a_n+1和a_n的大小关系．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推关系结合等比数列的定义即可证明{b_n}为等比数列，并求a_n；
（2）利用作差法进行比较即可．

解答 解：（1）∵a₁=a＞0，a≠1，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{1+{a}_{n}}$，
∴a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$，
∵数列{b_n}满足a_nb_n=1-a_n．
∴b_n=$\frac{1-{a}_{n}}{{a}_{n}}$，
则n≥2时，$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{1-{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$•$\frac{{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$=$\frac{1-\frac{2{a}_{n}}{1+{a}_{n}}}{\frac{2{a}_{n}}{1+{a}_{n}}}$•$\frac{{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$=$\frac{1-{a}_{n}}{2{a}_{n}}$•$\frac{{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
则{b_n}为等比数列，公比q=$\frac{1}{2}$，
首项为$\frac{1-{a}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{1-a}{a}$，
则b_n=$\frac{1-a}{a}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
即$\frac{1-{a}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1-a}{a}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
则$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=$\frac{1-a}{a}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
即$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1-a}{a}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
则a_n=$\frac{1}{1+\frac{1-a}{a}•（\frac{1}{2}）^{n-1}}$=$\frac{{2}^{n-1}a}{1-a+a•{2}^{n-1}}$．
（2）∵$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1-a}{a•{2}^{n}}$，
∴当0＜a＜1时，$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1-a}{a•{2}^{n}}$＞0，即a_n+1＞a_n，
当a＞1时，$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1-a}{a•{2}^{n}}$＜0，即a_n+1＜a_n．

点评 本题主要考查数列的递推关系的应用，利用等比数列的定义是解决本题的关键．