Question

2．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，已知a，b，c成等比数列，且a²-c²=ac-bc．则$\frac{bsinB}{c}$的值为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

Answer 1

分析 由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质得到b²=ac，代入已知等式中变形，利用余弦定理表示出cosA，将得出的关系式代入求出cosA的值，确定出A的度数，再利用正弦定理表示出sinB，代入所求式子中变形，将b²=ac及sinA的值代入计算即可求出值．

解答 解：∵a，b，c成等比数列，
∴b²=ac，
将b²=ac代入a²-c²=ac-bc，
即a²-c²=b²-bc，
即b²+c²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
即A=60°，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$得：sinB=$\frac{bsinA}{a}$，
则$\frac{bsinB}{c}=\frac{{b}^{2}sinA}{ac}$=sinA=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 此题考查了余弦定理，正弦定理，以及等比数列的性质，熟练掌握定理是解本题的关键．