Question

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧棱长为2，底面△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=，D是侧棱CC₁上一点，且BD与底面所成角为30°．
（1）求点D到AB所在直线的距离．
（2）求二面角A₁-BD-B₁的度数．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据线面垂直的性质可知AB⊥BD即BD为点D到AB所在直线的距离，再根据线面所成角的定义可知∠DBC即为BD与底面所成角，可求出BD，即可求得所求；
（2）过B₁作BD的垂线角BD与E，连接A₁E，B₁E，根据二面角平面角的定义可知∠A₁EB₁为二面角A₁-BD-B₁的平面角，在直角三角形A₁B₁E中，求出此角即可．
解答：解：（1）∵BD在底面的射影为BC
∴∠DBC即为BD与底面所成角则∠DBC=30°
∵∠B=90°，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
∴AB⊥侧面BC₁，而BD?侧面BC₁，
∴AB⊥BD即BD为点D到AB所在直线的距离
在直角三角形BDC中，BD=2
∴点D到AB所在直线的距离为2
（2）过B₁作BD的垂线角BD与E，连接A₁E，B₁E
∵A₁B₁⊥侧面BC₁，
∴∠A₁EB₁为二面角A₁-BD-B₁的平面角
在直角三角形A₁B₁E中，A₁B₁=1，B₁E=
∴tan∠A₁EB₁=
∴∠A₁EB₁=30°
即二面角A₁-BD-B₁的度数为30°
点评：本题主要考查了点到平面的距离，以及二面角的度量等有关知识，同时考查了空间想象能力、推理论证的能力，和转化与划归的思想，属于中档题．