Question

如图，在每个三角形的顶点处各放置一个数，使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别成等差数列．若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为l，则所有顶点上的数之和等于        。

Answer 1

解：由题意可得，（各点放的数用该点的坐标表示）
当n=2时，根据等差数列的性质可得，A+B=2D，A+C=2E，B+C=2F，且A+B+C=1
2（D+E+F）=2（A+B+C）=2，D+E+F=1∴f（2）=2=（3×4)/ 6
当n=3时，根据等差数列的性质可得，A+B=D+E，A+C=I+H，B+C=F+G，，且A+B+C=1
从而可得D+E+H+I+F+F=2（A+B+C）=2
同样根据等差中项可得，M的数为1/ 3∴f（3）="3+1" /3 ="10/" 3 =4×5/ 6
同理可得，f（4）=5=5×6/ 6    f（n）="n(n+1)/" 6,