题目内容

(08年福州质检二)(12分)

如图,直三棱柱A1B1C1―ABC中,C1C=CB=CA=2,AC⊥CB. D、E分别为棱C1C、B1C1的中点.

    (Ⅰ)求与平面A1C1CA所成角的大小;

    (Ⅱ)求二面角B―A1D―A的大小;

    (Ⅲ)试在线段AC上确定一点F,使得EF⊥平面A1BD.

解析:(Ⅰ)连接A1C.∵A1B1C1-ABC为直三棱柱,∴CC1⊥底面ABC,∴CC1⊥BC.

    ∵AC⊥CB,∴BC⊥平面A1C1CA. ……………1分

    ∴与平面A1C1CA所成角,

.

与平面A1C1CA所成角为.…………3分

 

(Ⅱ)分别延长AC,A1D交于G. 过C作CM⊥A1G 于M,连结BM,

    ∵BC⊥平面ACC­1A1,∴CM为BM在平面A1C1CA内的射影,

    ∴BM⊥A1G,∴∠CMB为二面角B―A1D―A的平面角,………………………5分

    平面A1C1CA中,C1C=CA=2,D为C1C的中点,

    ∴CG=2,DC=1 在直角三角形CDG中,.……7分

    即二面角B―A1D―A的大小为.……………………8分

(Ⅲ)取线段AC的中点F,则EF⊥平面A1BD.……………9分

证明如下:

∵A1B1C1―ABC为直三棱柱,∴B1C1//BC,

∵由(Ⅰ)BC⊥平面A1C1CA,∴B1C1⊥平面A1C1CA,……………10分

∵EF在平面A1C1CA内的射影为C1F,当F为AC的中点时,

C1F⊥A1D,∴EF⊥A1D.

同理可证EF⊥BD,∴EF⊥平面A1BD.……………………12分

解法二:

(Ⅰ)同解法一……………………3分

(Ⅱ)∵A1B1C1―ABC为直三棱柱,C1C=CB=CA=2,

AC⊥CB,D、E分别为C1C、B1C1的中点.

建立如图所示的坐标系得:

C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),

C1(0,0,2), B1(2,0,2), A­1(0,2,2),

D(0,0,1), E(1,0,2).………………6分

,设平面A1BD的法向量为

  .…………6分

平面ACC1A1­的法向量为=(1,0,0),.………7分

即二面角B―A1D―A的大小为.…………………8分

(Ⅲ)F为AC上的点,故可设其坐标为(0,,0),∴.

由(Ⅱ)知是平面A1BD的一个法向量,

欲使EF⊥平面A1BD,当且仅当//.……10分

,∴当F为AC的中点时,EF⊥平面A1BD.…………………12分

 

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