Question

（08年福州质检二）（12分）

已知点A（－2,0），B（2,0），动点P满足：∠APB=2,且|PA||PB|sin²θ=2，

（Ⅰ）求证：动点P的轨迹Q是双曲线；

（Ⅱ）过点B的直线与轨迹Q交于两点M，N.试问轴上是否存在定点C，使为常数，若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由.

 

Answer 1

解析: （Ⅰ）依题意，由余弦定理得：

, ……2分

即

　　

.

,即.　　…………4分

（当动点与两定点共线时也符合上述结论）

动点的轨迹Q是以为焦点,实轴长为的双曲线．其方程为.………6分

(Ⅱ)假设存在定点,使为常数．

（1）当直线不与轴垂直时，

设直线的方程为,代入整理得:

．…………7分

由题意知，．

设,,则,．…………8分

于是，   …………9分

．…………10分

要使是与无关的常数，当且仅当，此时．…11分

（2）当直线与轴垂直时，可得点,，

当时，．   

故在轴上存在定点,使为常数.…………12分