Question

2．如图在半径为5cm的圆形的材料中，要截出一个“十字形”ABCDEFGHIJKL，其为一正方形的四角截掉全等的小正方形所形成的图形．（O为圆心）
（1）若要使截出的“十字形”的边长相等（DE=CD）（图1），此时边长为多少？
（2）若要使截出的“十字形”的面积为最大（图2），此时∠DOE为多少？（用反三角函数表示）

Answer 1

分析 （1）当“十字形”的边长相等时，过O作OM⊥DE交DE于E，作CN⊥OM交OM于N．设该“十字形”的边长为2x，则DM=x，OM=3x．在Rt△OMD中，由勾股定理得边长；
（2）过O作OM⊥DE交DE于E，作CN⊥OM交OM于N，求出面积，即可得出结论．

解答 解：（1）当“十字形”的边长相等时，过O作OM⊥DE交DE于E，作CN⊥OM交OM于N．设该“十字形”的边长为2x，则DM=x，OM=3x．
在Rt△OMD中，由勾股定理得，x²+（3x）²=25，可得x=$\frac{\sqrt{10}}{2}$…5分
所以，边长2x=$\sqrt{10}$cm…6分
（2）过O作OM⊥DE交DE于E，作CN⊥OM交OM于N．设∠DOM=θ，则OM=5cosθ，DM=5sinθ．
∴ON=CN=5sinθ，NM=5cosθ-5sinθ．…8分
∴“十字形”的面积为S=（2OM）²-4（NM）²=100cos²θ-100（cosθ-sinθ）²=$100（\frac{{\sqrt{5}}}{2}sin（2θ+φ）-\frac{1}{2}）$（ 其中$cosφ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$或$tanϕ=\frac{1}{2}$） $（{0＜θ＜\frac{π}{2}}）$…10分
∴当$2θ+ϕ=\frac{π}{2}$时，${S_{max}}=50（{\sqrt{5}-1}）\;c{m^2}$…12分
此时，$∠DOE=2θ=\frac{π}{2}-arccos\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$或$\frac{π}{2}-arctan\frac{1}{2}$…14分．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．