Question

6．已知数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$，则a₂₀₁₂=（　　）

• A． 2
• B． -3
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 根据数列实质就是函数，可令a_n=f（n），把a_n+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$转化为f（n+1）与f（n）的关系，分析得到a_n周期出现，则答案可求．

解答 解：设a_n=f（n），由a_n+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$，得f（n+1）=$\frac{1+f（n）}{1-f（n）}$，
则f（n+2）=f[（n+1）+1]=$\frac{1+f（n+1）}{1-f（n+1）}$=$\frac{1+\frac{1+f（n）}{1-f（n）}}{1-\frac{1+f（n）}{1-f（n）}}$=$\frac{2}{-2f（n）}=-\frac{1}{f（n）}$，
∴f（n+4）=-$\frac{1}{f（n+2）}$=-$\frac{1}{-\frac{1}{f（n）}}=f（n）$，∴数列a_n是以4为周期出现的，
∴a₂₀₁₂=a₄，
又a₁=3，∴${a}_{2}=\frac{1+3}{1-3}=-2$，${a}_{3}=\frac{1-2}{1+2}=-\frac{1}{3}$，${a}_{4}=\frac{1-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}$．
∴a₂₀₁₂=$\frac{1}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了数列的递推公式，解决此题的关键是转化成函数，进一步求出函数的周期，体现了数学中的转化思想方法，是中档题．