题目内容

16．已知（x+3）3+2015（x+3）+（2y-3）3+2015（2y-3）=0，求x2+4y2+4x的最小值．

分析 令f（x）=x3+2015x，易得函数f（x）为奇函数，且函数f（x）在R上为增函数，结合已知中（x+3）3+2015（x+3）+（2y-3）3+2015（2y-3）=0，可得x+2y=0，进而由二次函数的图象和性质，得到答案．

解答 解：令f（x）=x3+2015x，
则f（-x）=-f（x），即函数f（x）为奇函数，
又由f′（x）=3x2+2015＞0恒成立，
故函数f（x）在R上为增函数，
∵（x+3）3+2015（x+3）+（2y-3）3+2015（2y-3）=0，
∴f（x+3）+f（2y-3）=0，
即x+3+2y-3=x+2y=0，
故x2=4y2
故x2+4y2+4x=2x2+4x≥-2，
即x2+4y2+4x的最小值为-2．

点评 本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，二次函数的图象和性质，难度中档．

练习册系列答案
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