Question

20．已知不等式x²-3x+t＜0的解集为{x|1＜x＜m，m∈R}．
（1）求t，m的值；
（2）若f（x）=-x²+ax+4在（-1，1）上递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件中不等式的解集，得到关于x的方程x²-3x+t=0的两根分别为x₁=1，x₂=m，利用根与系数的关系建立关于m、t的方程组，解之即可得到实数t，m的值；
（2）经过配方得到f（x）=-（x-$\frac{a}{2}$）²+4+$\frac{{a}^{2}}{4}$，根据对称轴，和函数的单调性即可求出a的取值范围．

解答 解：（1）由条件得：$\left\{\begin{array}{l}1+m=3\\ 1•m=t\end{array}\right.$，所以$\left\{\begin{array}{l}m=2\\ t=2\end{array}\right.$．
（2）因为$f（x）=-{（x-\frac{a}{2}）^2}+4+\frac{a^2}{4}$在（-1，1）上递增，
所以$\frac{a}{2}$≥1，a≥2．

点评 本题给出含有字母参数的一元二次不等式，在已知解集的情况下求参数m、t的值，以及二次函数的单调性，属于基础题