题目内容
11．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且cosB=$\frac{4}{5}$，b=2，设AC边的中线为BM，则BM的最大值为（ ）| A． | 2 | B． | 3 | C． | 6 | D． | 9 |
分析 设BM=m，∠AMB=α，分别在△ABM和△CBM中由余弦定理2m2=a2+c2-2，再由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，代入数据由基本不等式可得．
解答 解：设BM=m，∠AMB=α，分别在△ABM和△CBM中，
由余弦定理可得c2=m2+1-2mcosα，a2=m2+1-2mcos（π-α），
∵cosα=-cos（π-α），∴两式相加并整理可得2m2=a2+c2-2，
又由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，
代入数据可得a2+c2-$\frac{8}{5}$ac=4，即2ac=$\frac{5}{4}$（a2+c2-4），
∵2ac≤a2+c2，∴（a2+c2-4）≤a2+c2，
整理可得a2+c2≤20，即2m2=a2+c2-2≤18，
解得0＜m≤3，∴BM的最大值为3
故选：B
点评 本题考查三角形中的几何计算，涉及正余弦定理和基本不等式求最值，属中档题．
练习册系列答案
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（Ⅰ）求未来的3个月中，至多有1个月的洒水量超过60的概率；
（Ⅱ）供水部门希望修建的供水站尽可能运行，但每月供水站运行的数量受月洒水量限制，有如下关系：
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