Question

（1）若关于x的不等式|x+1|-|x-2|＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围；
（2）已知实数a，b，c，满足a+b+c=1，求（a-1）²+2（b-2）²+3（c-3）²最小值．

Answer 1

分析：（1）利用不等式的性质对|x+1|-|x-2|进行放缩和分类讨论，求出|x+1|-|x-2|的最小值，即可求解．
（2）由a+b+c=1及柯西不等式得：[（a-1）²+2（b-2）²+3（c-3）²]（1+

1

2

+

1

3

）≥[（a-1）+2（b-2）+3（c-3）]²=25从而得出（a-1）²+2（b-2）²+3（c-3）²最最小值．

解答：解：（1）令f（x）=|x+1|-|x-2|
①x＜-1，f（x）=-1-x-（2-x）=-3；
②-1≤x≤2，f（x）=x+1-（2-x）=2x-1，∴-3≤f（x）≤3；
③x＞2，f（x）=x+1-（x-2）=3，
综上f（x）≥-3，
∵关于x的不等式|x+1|-|x-2|＜a的解集不是空集，
∴a＞-3，
故答案为a＞-3．
（2）：由a+b+c=1及柯西不等式得
[（a-1）²+2（b-2）²+3（c-3）²]（1+

1

2

+

1

3

）≥[（a-1）+2（b-2）+3（c-3）]²=25，（11分）
所以（a-1）²+2（b-2）²+3（c-3）²≥

150

11

，（12分）
当且仅当a=-

9

11

，b=

7

11

，c=

23

11

取等号，（14分）
故（a-1）²+2（b-2）²+3（c-3）²最最小值为

150

11

（15分）

点评：此题考查柯西不等式在函数极值中的应用、绝对值不等式的放缩问题及函数的恒成立问题，这类题目是高考的热点，难度不是很大，要注意不等号进行放缩的方向．