Question

已知函数f（x）=log₂

x-1

x+1

，g（x）=2ax+1-a，又h（x）=f（x）+g（x）
（1）求函数f（x）的定义域；（2）试讨论h（x）的奇偶性；
（3）若关于x的方程f（x）=log₂g（x）有两个不等实数根，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据让函数解析式有意义的原则，结合对数函数真为大于0，构造关于x的不等式，解不等式可得答案．
（2）根据已知可分a=1和a≠1时两种情况，分别讨论h（-x）+h（x）与h（-x）-h（x）与0的关系，进而根据函数奇偶性的定义可得答案
（3）方程f（x）=log₂g（x）有两个不等实数根，即

x-1

x+1

=2ax+1-a在（-∞，-1）∪（1，+∞）上有两个不等的根，即a=-

2

2x2+x+1

在（-∞，-1）∪（1，+∞）上有两个不等的根，借助函图象易分析出a的取值范围．

解答：解：（1）要使函数f（x）=log₂

x-1

x+1

的解析式有意义
则

x-1

x+1

＞0
解得x＜-1，或x＞1
即函数f（x）=log₂

x-1

x+1

的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
（2）当a=1时，h（x）=f（x）+g（x）=log₂

x-1

x+1

+2x，
∵h（-x）+h（x）=0，
∴h（x）为奇函数；
当a≠1时，h（x）=f（x）+g（x）=log₂

x-1

x+1

+2ax+1-a，
∵h（-2）+h（2）=2-2a≠0
故h（x）为非奇函数
令h（-3）-h（3）=12a-2=0，则a=

1

6

此时，h（-2）-h（2）≠0
故h（x）为非偶函数
综上h（x）既不是奇函数又不是偶函数；
（3）f（x）=log₂g（x）有两个零点等价于

x-1

x+1

=2ax+1-a在（-∞，-1）∪（1，+∞）上有两个不等的根；
即a=-

2

2x2+x-1

在（-∞，-1）∪（1，+∞）上有两个不等的根；
由y=-

2

2x2+x-1

在（-∞，-1）∪（1，+∞）上的图象可得

a的取值范围-1＜a＜0

点评：本题考查的知识点是函数的零点与方程根的关键，函数的定义域，函数的奇偶性，其中（3）中将方程的根转化为函数图象与y=a交点的个数，并用图象法进行解答是转化思想是解非基本方程是的重要应用．