题目内容
6.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,AD为边BC上的高,已知AD=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a,b=1.(Ⅰ)若A=$\frac{2}{3}$π,求c;
(Ⅱ)求c+$\frac{1}{c}$的最大值.
分析 (Ⅰ)若A=$\frac{2}{3}$π,利用等面积,结合余弦定理,即可求c;
(Ⅱ)求出2-$\sqrt{3}$≤c≤2+$\sqrt{3}$,即可求c+$\frac{1}{c}$的最大值.
解答 解:(Ⅰ)若A=$\frac{2}{3}$π,则$\frac{1}{2}×c×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}×a×$$\frac{\sqrt{3}}{6}$a,∴c=$\frac{1}{3}{a}^{2}$
∵a2=$1+{c}^{2}-2×1×c×(-\frac{1}{2})$
∴c=1;
(Ⅱ)$\frac{1}{2}×c×1×sinA$=$\frac{1}{2}×a×$$\frac{\sqrt{3}}{6}$a,∴a2=2$\sqrt{3}$csinA
∵a2=1+c2-2ccosA,
∴sin(A+30°)=$\frac{1+{c}^{2}}{4c}$
∴0<$\frac{1+{c}^{2}}{4c}$≤1,
∴2-$\sqrt{3}$≤c≤2+$\sqrt{3}$,
∴c=2±$\sqrt{3}$时,c+$\frac{1}{c}$的最大值为4.
点评 本题考查余弦定理,考查三角形面积的计算,考查三角函数的性质,属于中档题.
练习册系列答案
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