题目内容

12.已知函数f(x)=-x3+ax2-1.
(1)若f(x)在区间(0,2)上单调递增,在区间(2,+∞)上单调递减,求a的值;
(2)若方程f(x)=ax2-12x-b有三个不同的实数解,求实数b的取值范围.

分析 (1)若f(x)在区间(0,2)上单调递增,在区间(2,+∞)上单调递减,得到当x=2时,函数取得极大值,解f′(2)=0,求a的值;
(2)若方程f(x)=ax2-12x-b有三个不同的实数解,利用参数分离法,即可求实数b的取值范围.

解答 解:(1)函数的导数f′(x)=-3x2+2ax,
若f(x)在区间(0,2)上单调递增,在区间(2,+∞)上单调递减,
∴当x=2时,函数取得极大值,即f′(2)=0,
即f′(2)=-3×22+2a×2=0,
即4a-12=0,解得a=3;
(2)若方程f(x)=ax2-12x-b有三个不同的实数解,
即-x3+ax2-1=ax2-12x-b,
则b=x3-12x+1,
设h(x)=x3-12x+1,
则h′(x)=3x2-12=3(x2-4),
由h′(x)>0得x>2或x<-2,此时函数单调递增,
由h′(x)<0得-2<x<2,此时函数单调递减,
即当x=-2函数取得极大值,即h(-2)=17,
当x=2函数取得极小值,即h(2)=-15,
若b=x3-12x+1有三个不同的交点,
则-15<b<17,
即实数b的取值范围是(-15,17).

点评 本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系,求函数的导数,利用导数是解决本题的关键.

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