Question

已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且，|BC|=2|AC|．
（1）求椭圆的方程；
（2）如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则总存在实数λ，使，请给出证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，设所求椭圆的方程为：=4，由已知易得△AOC是等腰直角三角形，进而求出C点坐标，代入求出b²的值后，可得椭圆的方程．
（2）设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k，联立PC与椭圆方程，结合C在椭圆上，求出求x_P=，同理x_Q=，代入斜率公式可得k_PQ=，由对称性求出B点坐标，可得k_AB=，即k_PQ=k_AB，即与共线，再由向量共线的充要条件得到答案．
解答：解：（1）以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，
则A（2，0），设所求椭圆的方程为：=4（0＜b＜1），由椭圆的对称性知|OC|=|OB|，
由•=0得AC⊥BC，
∵|BC|=2|AC|，
∴|OC|=|AC|，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴C的坐标为（1，1），
∵C点在椭圆上
∴=4，
∴b²=，所求的椭圆方程为x²+3y²=4．
（Ⅱ）由于∠PCQ的平分线垂直OA（即垂直于x轴），
不妨设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k，
直线PC的方程为：y=k（x-1）+1，直线QC的方程为y=-k（x-1）+1，
由得：（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0（*）
∵点C（1，1）在椭圆上，
∴x=1是方程（*）的一个根，则其另一根为，设P（x_P，y_P），?Q（x_Q，y_Q），x_P=，同理x_Q=，
k_PQ=
而由对称性知B（-1，-1），又A（2，0），
∴k_AB=，
∴k_PQ=k_AB，
∴与共线，且≠0，即存在实数λ，使=λ．
点评：本题考查的知识点是椭圆的方程，直线与椭圆的综合应用，向量共线的充要条件，其中（2）综合了联立方程，设而不求，韦达定理，向量共线，斜率公式等诸多知识点，综合性强，运算强度大，属于难题．