题目内容
（2010•上虞市二模）已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且| AC |
| BC |
（1）求椭圆的方程；
（2）如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则总存在实数λ，使
| PQ |
| AB |
分析：（1）以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，设所求椭圆的方程为：x2+
=4，由已知易得△AOC是等腰直角三角形，进而求出C点坐标，代入求出b2的值后，可得椭圆的方程．
（2）设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k，联立PC与椭圆方程，结合C在椭圆上，求出求xP=
，同理xQ=
，代入斜率公式可得kPQ=
，由对称性求出B点坐标，可得kAB=
，即kPQ=kAB，即
与
共线，再由向量共线的充要条件得到答案．
| y2 |
| b2 |
（2）设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k，联立PC与椭圆方程，结合C在椭圆上，求出求xP=
| 3k2-6k-1 |
| 1+3k2 |
| 3k2+6k-1 |
| 1+3k2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| AB |
| PQ |
解答：解：（1）以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，
则A（2，0），设所求椭圆的方程为：x2+
=4（0＜b＜1），由椭圆的对称性知|OC|=|OB|，
由
•
=0得AC⊥BC，
∵|BC|=2|AC|，
∴|OC|=|AC|，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴C的坐标为（1，1），
∵C点在椭圆上
∴1+
=4，
∴b2=
，所求的椭圆方程为x2+3y2=4．
（Ⅱ）由于∠PCQ的平分线垂直OA（即垂直于x轴），
不妨设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k，
直线PC的方程为：y=k（x-1）+1，直线QC的方程为y=-k（x-1）+1，
由
得：（1+3k2）x2-6k（k-1）x+3k2-6k-1=0（*）
∵点C（1，1）在椭圆上，
∴x=1是方程（*）的一个根，则其另一根为
，设P（xP，yP），?Q（xQ，yQ），xP=
，同理xQ=
，
kPQ=
=
=
=
而由对称性知B（-1，-1），又A（2，0），
∴kAB=
，
∴kPQ=kAB，
∴
与
共线，且
≠0，即存在实数λ，使
=λ
．
则A（2，0），设所求椭圆的方程为：x2+
| y2 |
| b2 |
由
| AC |
| BC |
∵|BC|=2|AC|，
∴|OC|=|AC|，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴C的坐标为（1，1），
∵C点在椭圆上
∴1+
| 1 |
| b2 |
∴b2=
| 1 |
| 3 |
（Ⅱ）由于∠PCQ的平分线垂直OA（即垂直于x轴），
不妨设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k，
直线PC的方程为：y=k（x-1）+1，直线QC的方程为y=-k（x-1）+1，
由
|
∵点C（1，1）在椭圆上，
∴x=1是方程（*）的一个根，则其另一根为
| 3k2-6k-1 |
| 1+3k2 |
| 3k2-6k-1 |
| 1+3k2 |
| 3k2+6k-1 |
| 1+3k2 |
kPQ=
| yP-yQ |
| xP-xQ |
| k(xP+xQ)-k |
| xP-xQ |
k•(
| ||||
|
| 1 |
| 3 |
而由对称性知B（-1，-1），又A（2，0），
∴kAB=
| 1 |
| 3 |
∴kPQ=kAB，
∴
| AB |
| PQ |
| AB |
| PQ |
| AB |
点评：本题考查的知识点是椭圆的方程，直线与椭圆的综合应用，向量共线的充要条件，其中（2）综合了联立方程，设而不求，韦达定理，向量共线，斜率公式等诸多知识点，综合性强，运算强度大，属于难题．
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