题目内容

21.(本题12分)

如图,已知ABC是长轴长为4   的椭圆上的三点,点A是长轴的右顶点,BC过椭圆中心O,且·=0,

(1)求椭圆的方程;

(2)若过C关于y轴对称的点D作椭圆的切线DE,则ABDE有什么位置关系?证明你的结论.

(1)=1.


解析:

(1)A(2,0),设所求椭圆的方程为:=1(0<b<2)

由椭圆的对称性知,|OC|=|OB|,由·=0得,ACBC

∵|BC|=2|AC|,∴|OC|=|AC|,∴△AOC是等腰直角三角形,

C的坐标为(1,1).

C点在椭圆上,∴=1,∴b2=.所求的椭圆方程为=1.

(2)是平行关系D(-1,1),设所求切线方程为y-1=k(x+1)

,消去y, 

上述方程中判别式= 又,所以AB与DE平行.

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