题目内容
21.(本题12分)
如图,已知A、B、C是长轴长为4 的椭圆上的三点,点A是长轴的右顶点,BC过椭圆中心O,且·=0,,
(1)求椭圆的方程;
(2)若过C关于y轴对称的点D作椭圆的切线DE,则AB与DE有什么位置关系?证明你的结论.
(1)=1.
解析:
(1)A(2,0),设所求椭圆的方程为:=1(0<b<2)
由椭圆的对称性知,|OC|=|OB|,由·=0得,AC⊥BC,
∵|BC|=2|AC|,∴|OC|=|AC|,∴△AOC是等腰直角三角形,
∴C的坐标为(1,1).
∵C点在椭圆上,∴=1,∴b2=.所求的椭圆方程为=1.
(2)是平行关系D(-1,1),设所求切线方程为y-1=k(x+1)
,消去y,
上述方程中判别式=, 又,所以AB与DE平行.
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