Question

选修4-4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系xOy内，点P（x，y）在曲线C：

x=1+cosθ y=sinθ

(θ为参数，θ∈R）上运动．以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+

π

4

)=0．
（Ⅰ）写出曲线C的标准方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求△ABM面积的最大值，并求此时M点的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把给出的圆的参数方程移项平方即可得到圆的普通方程，展开两角和的余弦公式，整理后代入
x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得到直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）使△ABM面积取得最大值的点M在经过圆心，且与直线l垂直的直线上，由弦心距，圆的半径，求出弦AB的长度，M到l的距离为弦心距与圆的半径的和，然后直接代入三角形面积公式求解．

解答：解：（Ⅰ）由

x=1+cosθ y=sinθ

，得

x-1=cosθ y=sinθ

，平方作和得曲线C的标准方程：（x-1）²+y²=1．
由ρcos(θ+

π

4

)=0，得ρcos

π

4

cosθ-ρsin

π

4

sinθ=0，即ρcosθ-ρsinθ=0．
∴直线l的直角坐标方程为：x-y=0；
（Ⅱ）∵圆心（1，0）到直线l的距离为d=

1

1+1

=

2

2

，
则圆上的点M到直线的最大距离为d+r=

2

2

+1（其中r为曲线C的半径），
又|AB|=2

12-( 2 2 )2

=

2

．
设M点的坐标为（x，y），
则过M且与直线l垂直的直线l′的方程为：x+y-1=0，
联立

(x-1)2+y2=1 x+y-1=0

，解得：

x= 2 2 +1 y=- 2 2

，或

x=- 2 2 +1 y= 2 2

．
经检验

x=- 2 2 +1 y= 2 2

舍去．
故当点M为(

2

2

+1，-

2

2

)时，△ABM面积的最大值为：
(S△ABM)max=

1

2

×

2

×(

2

2

+1)=

2 +1

2

．

点评：本题考查了参数方程化普通方程，考查了点的极坐标化直角坐标，考查了直线与圆锥曲线的关系，解答的关键是明确使△ABM面积最大时的M的位置，是中档题．