Question

【题目】在数列中，已知，对于任意的，有.

（1）求数列的通项公式.

（2）若数列满足，求数列的通项公式.

（3）设，是否存在实数，当时，恒成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）； （2）；（3）.

【解析】

(1)取，，则.所以，即是公差为2，首项为2的等差数列.再求数列的通项.(2)利用作差法求数列的通项公式.(3)

由题意得：，假设存在，使，化简得

，再对n分奇数和偶数两种情况讨论，分别分离参数求出

(1)取，，则.

所以，即是公差为2，首项为2的等差数列.

所以.检验对任意成立。

(2)因为 ①

所以.②

①—②得：，所以.

当时，，所以，满足上式.

所以.

(3)由题意得：，

假设存在，使，

则.

所以.

所以.

若为正偶数时，恒成立，

则，

所以.

所以.

若为正奇数时，恒成立，

则，

所以.

所以.

综上可知，存在实数.使时，恒成立.