题目内容
【题目】(本题满分10分)
已知椭圆
的左焦点为
,右焦点为
,离心率
.过
的直线交椭圆于
、
两点,且
的周长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设动直线与椭圆
有且只有一个公共点
,且与直线
相交于点
.求证:以
为直径的圆恒过一定点
.并求出点
的坐标.
【答案】(1)=1(2)存在定点M(1,0),
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据过的直线交椭圆于
两点,且
的周长为8,可得
,即
,利用
,
,即可求得椭圆E的方程.(Ⅱ)由
消元可得
,利用动直线
与椭圆E有且只有一个公共点
,可得
,进而可得
,由
得
,取
,猜想满足条件的点
存在,只能是
,再进行证明即可
试题解析:(1)∵,即
.
又,所以
.
又因为,即
,所以
,所以
.
故椭圆的方程为
.
(2)法一:由消去
得
.
因为动直线与椭圆
有且只有一个公共点
,所以
,且
,即
,化简得
.
此时,
,所以
由得
从而以线段为直径的圆的方程满足
,化简得
.
由对称性知,点必在
轴上.而当
时,
,易得
,此式恒成立.
故命题成立.定点坐标为.
法二:由消去
得
.
因为动直线与椭圆
有且只有一个公共点
,所以
,且
,即
,化简得
.
此时,
,所以
由得
.
因为存在定点满足条件,由图形对称性知:点
必在
轴上.取
此时以
为直径的圆的方程为
交
轴于
,
;取
,此时
,以
为直径的圆的方程为
,交
轴于点
.所以满足条件的点存在,其必为
.
下面证明点满足条件.
因为所以
,故
恒有,故点
恒在以线段
为直径的圆上.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目