Question

9．过圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）长轴上一点（不含端点）D（x₀，0）的直线与椭圆交于M，N，M关于x轴的对称点为Q（与N不重合），求证：直线QN过定点，并求出定点坐标

Answer 1

分析 由M关于x轴的对称点为Q（与N不重合）知直线MN的斜率存在，而当k_MN=0时，直线QN为x轴，从而可判断若存在定点，则定点在x轴上，再考虑k_MN≠0时，设直线MN的方程为y=k（x-x₀），-a＜x₀＜a；从而设M（x₁，-y₁），N（x₂，y₂），则Q（x₁，y₁）；联立直线与椭圆方程化简可得（a²k²+b²）x²-2a²k²x₀x+a²k²${x}_{0}^{2}$-a²b²=0，从而可得x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}{k}^{2}{x}_{0}}{{a}^{2}{k}^{2}+{b}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{{a}^{2}{k}^{2}{x}_{0}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}{k}^{2}+{b}^{2}}$；写出直线QN的方程并化简得y=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$x+$\frac{{x}_{2}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，从而令y=0得，x=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}}$，从而化简可得x=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}}$=$\frac{-2{a}^{2}{b}^{2}k}{{a}^{2}{k}^{2}+{b}^{2}}$•$\frac{{a}^{2}{k}^{2}+{b}^{2}}{-2{b}^{2}k{x}_{0}}$=$\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}}$为定值，从而证明并写出定点坐标即可．

解答 证明：∵M关于x轴的对称点为Q（与N不重合），
∴直线MN的斜率存在，
①若k_MN=0，则MN与x轴重合，此时直线QN的方程为：y=0；
②若k_MN≠0，则设直线MN的方程为y=k（x-x₀），-a＜x₀＜a；
令M（x₁，-y₁），N（x₂，y₂），则Q（x₁，y₁）；
联立方程可得$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-{x}_{0}）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
化简可得，
（a²k²+b²）x²-2a²k²x₀x+a²k²${x}_{0}^{2}$-a²b²=0，
即x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}{k}^{2}{x}_{0}}{{a}^{2}{k}^{2}+{b}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{{a}^{2}{k}^{2}{x}_{0}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}{k}^{2}+{b}^{2}}$；
k_QN=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
直线QN的方程为：y-y₂=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₂），
化简可得，y=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$x+$\frac{{x}_{2}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
则若直线QN过定点，则定点必在x轴，
令y=0得，x=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}}$，
x₁•y₂-x₂•y₁=x₁•k（x₂-x₀）-x₂•[-k（x₁-x₀）]
=2kx₁•x₂-kx₀（x₁+x₂）
=$\frac{-2{a}^{2}{b}^{2}k}{{a}^{2}{k}^{2}+{b}^{2}}$；
y₂-y₁=k（x₂-x₀）+k（x₁-x₀）
=k（x₁+x₂）-2kx₀
=$\frac{-2{b}^{2}k{x}_{0}}{{a}^{2}{k}^{2}+{b}^{2}}$；
故x=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}}$
=$\frac{-2{a}^{2}{b}^{2}k}{{a}^{2}{k}^{2}+{b}^{2}}$•$\frac{{a}^{2}{k}^{2}+{b}^{2}}{-2{b}^{2}k{x}_{0}}$
=$\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}}$；
故定点坐标为（$\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}}$，0）．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，同时考查了根与系数的关系应用及化简方法的应用，属于难题．