Question

14．如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（2）求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF．

Answer 1

分析 （1）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行；利用中位线性质以及线面平行的判定定理可得；
（2）利用线面垂直的性质定理和判定定理矩形证即可．

解答 解：（1）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．…（2分）
理由如下：
∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，
∴EF∥PC．

又EF?平面PAC，而PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．…（6分）
（2）∵PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，
又∵ABCD是矩形，∴BC⊥AB．
∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∵AF?平面PAB，
∴BC⊥AF．…（9分）
PA=AB，点F是PB的中点，∴AF⊥PB．
又∵BC∩PB=B，∴AF⊥平面PBC，∵PE?平面PBC，∴AF⊥PE．
∴无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF．…（12分）

点评 本题实质上考查了线面平行的判定定理的运用以及线面垂直的判定定理和性质定理的运用；熟练运用定理是关键．