题目内容

13．学校组织“踢毽球”大赛，某班为了选出一人参加比赛，对班上甲乙两位同学进行了8次测试，且每次测试之间是相互独立．成绩如下：（单位：个/分钟）
甲8081937288758384
乙8293708477877885
（1）用茎叶图表示这两组数据；
（2）从统计学的角度考虑，你认为选派那位学生参加比赛合适，请说明理由？
（3）若将频率视为概率，对甲同学在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩高于79个/分钟的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
（参考数据：22+12+112+102+62+72+12+22=316，02+112+122+22+52+52+42+32）

分析 （1）以十位数为茎，个位数为叶，由已知条件能作出甲乙两同学“踢毽球”的茎叶图．
（2）求出$\overline{{x}_{甲}}$，$\overline{{x}_{乙}}$，${{S}_{甲}}^{2}$，${{S}_{乙}}^{2}$，由于甲、乙的平均成绩相等，而甲的方差较小，得到派甲参赛比较合适．
（3）由题意可知，ξ的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望Eξ．

解答 解：（1）以十位数为茎，个位数为叶，由已知作出甲乙两同学“踢毽球”的茎叶图如下图：

（2）$\overline{{x}_{甲}}$=$\frac{80+81+93+72+88+75+83+84}{8}$=82，
$\overline{{x}_{乙}}$=$\frac{82+93+70+84+77+87+78+85}{8}$=82，
${{S}_{甲}}^{2}$=$\frac{{2}^{2}+{1}^{2}+1{1}^{2}+1{0}^{2}+{6}^{2}+{7}^{2}+{1}^{2}+{2}^{2}}{8}$=39.5，
${{S}_{乙}}^{2}$=$\frac{{0}^{2}+1{2}^{2}+1{2}^{2}+{2}^{2}+{5}^{2}+{5}^{2}+{4}^{2}+{3}^{2}}{8}$=43，
由于甲、乙的平均成绩相等，而甲的方差较小，所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．
（3）由题意可知，ξ的取值为0，1，2，3，
由表格可知：高于79个/分钟的频率为$\frac{3}{4}$，则高于79个/分钟的概率为$\frac{3}{4}$，
则P（ξ=0）=（1-$\frac{3}{4}$）3=$\frac{1}{64}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}×\frac{3}{4}×（1-\frac{3}{4}）$2=$\frac{9}{64}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{3}{4}）^{2}×（1-\frac{3}{4}）$=$\frac{27}{64}$，
P（ξ=3）=$（\frac{3}{4}）^{3}$=$\frac{27}{64}$，
∴ξ的分布列如下：

ξ0123
P$\frac{1}{64}$$\frac{9}{64}$$\frac{27}{64}$$\frac{27}{64}$
∴Eξ=$0×\frac{1}{64}+1×\frac{9}{64}+2×\frac{27}{64}+3×\frac{27}{64}$=$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了茎叶图，方差，离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．

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