题目内容
【题目】已知函数,其中
为常数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当(
为自然对数的底数),
时,若方程
有两个不等实数根,求实数
的取值范围.
【答案】(1)当时,
在
上单调递减;当
时,
在
上单调递增,在
上单调递减;(2)
【解析】
(1)分别在和
两种情况下,根据
的正负确定
的单调性;
(2)将问题转化为当时,
与
有两个不同交点的问题,通过导数可求得
的单调性和最值,进而得到函数图象,通过数形结合的方式可确定
的范围.
(1)由题意得:定义域为
,
,
当时,
,则
在
上单调递减;
当时,令
,解得:
,
当
时,
;当
时,
,
在
上单调递增,在
上单调递减.
综上所述:当时,
在
上单调递减;当
时,
在
上单调递增,在
上单调递减.
(2)当时,
有两个不等实根,方程可化为
,
令,则
,
令,则
,
当时,
,即
<0
在
上单调递减,
,且
在
上有且仅有一个零点
,
当
时,
,即
;当
时,
,即
,
在
上单调递增,在
上单调递减,
,
,
由此可得图象如下图所示:
则当时,方程
有两个不等实数根等价于当
时,
与
有两个不同交点,
由图象可知:.
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