题目内容

如图,半径为30的圆形(为圆心)铁皮上截取一块矩形材料,其中点在圆弧上,点在两半径上,现将此矩形材料卷成一个以为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设与矩形材料的边的夹角为,圆柱的体积为.

(1)求关于的函数关系式?
(2)求圆柱形罐子体积的最大值.
(1);(2)

试题分析:(1)利用解直角三角形用将OA,AB表示出来,利用OA是圆柱的底面周长,将圆柱的底面半径用表示出来,圆柱的高就是AB,再利用圆柱的体积公式求出圆柱的体积即为所求关于的函数关系式,注意要标明定义域;(2)设sin=,将圆柱形罐子体积化为关于的函数,注意的范围,求出的导数,利用导数求出单调区间,求出的极值,再求出函数的最大值就是圆柱形罐子体积的最大值.
试题解析:(1)
(2)令
所以函数上单调递增,在上单调递减,
即当时,体积取得最大值.
【解法2】:(1)连接,在中,设,则
设圆柱底面半径为,则,即
,其中.
(2)由,得
解得;由解得
因此上是增函数,在上是减函数.
所以当时,有最大值.
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