Question

【题目】已知平面向量，设函数（为常数且满足），若函数图象的一条对称轴是直线.

（1）求的值；

（2）求函数在上的最大值和最小值：

（3）证明：直线与函数的图象不相切．

Answer 1

【答案】(1) (2) 最大值和最小值分别为和-1. (3)证明见解析

【解析】

（1）利用向量的数量积求得函数、的表达式，从而利用三角函数性质求得的值；

（2）结合的取值范围求得函数最值；

（3）利用导函数求得三角函数的切线斜率取值范围，然后去判断直线与图象的关系．

(1)可知，

所以

因为是函数图象的一条对称轴，

所以，得

因为，所以

(2)所以，

因为，所以

所以函数在上的最大值和最小值分别为和.

(3)因为

所以即函数图象的切线斜率的取值范围为，

因为直线的斜率为，

所以直线与函数的图象不相切.