Question

【题目】设f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且对任意a、b∈[﹣1，1]，当a+b≠0时，都有 ＞0．
（1）若a＞b，比较f（a）与f（b）的大小；
（2）解不等式f（x﹣ ）＜f（x﹣ ）；
（3）记P={x|y=f（x﹣c）}，Q={x|y=f（x﹣c2）}，且P∩Q=，求c的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设﹣1≤x1＜x2≤1，则x1﹣x2≠0，

∴ ＞0．

∵x1﹣x2＜0，∴f（x1）+f（﹣x2）＜0．

∴f（x1）＜﹣f（﹣x2）．

又f（x）是奇函数，∴f（﹣x2）=﹣f（x2）．

∴f（x1）＜f（x2）．

∴f（x）是增函数．

∵a＞b，∴f（a）＞f（b）

（2）解：由f（x﹣ ）＜f（x﹣ ），得 ∴﹣ ≤x≤ ．

∴不等式的解集为{x|﹣ ≤x≤ }．

（3）解：由﹣1≤x﹣c≤1，得﹣1+c≤x≤1+c，

∴P={x|﹣1+c≤x≤1+c}．

由﹣1≤x﹣c2≤1，得﹣1+c2≤x≤1+c2，

∴Q={x|﹣1+c2≤x≤1+c2}．

∵P∩Q=，

∴1+c＜﹣1+c2或﹣1+c＞1+c2，

解得c＞2或c＜﹣1

【解析】先判断函数的单调性．（1）由函数的单调性即可求解．（2）（3）由函数的定义域及函数的单调性求解．
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法和函数单调性的性质的相关知识点，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集才能正确解答此题．