题目内容

已知y=f（x）函数的图象是由y=sinx的图象经过如下三步变换得到的：
①将y=sinx的图象整体向左平移 $数学公式$ 个单位；
②将①中的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 $数学公式$ ；
③将②中的图象的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍．
（1）求f（x）的周期和对称轴；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=2，c=1，ab=2 $数学公式$ ，且a＞b，求a，b的值．

解：（Ⅰ）由变换得：f（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），
∵ω=2，
∴T= $\text{[math]}$ =π；
由2x+ $\text{[math]}$ =kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈Z，得对称轴为x= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，k∈Z；
（Ⅱ）由f（C）=2得：2sin（2C+ $\text{[math]}$ ）=2，即sin（2C+ $\text{[math]}$ ）=1，
又C为三角形内角，
∴2C+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即C= $\text{[math]}$ ，
∴cosC= $\text{[math]}$ ，又c=1，ab=2 $\text{[math]}$ ，
在△ABC中，根据余弦定理，有c²=1=a²+b²-2abcosC=a²+b²-2×2 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ，
整理得：a²+b²=7，与ab=2 $\text{[math]}$ 联立，且a＞b，
解得：a=2，b= $\text{[math]}$ ．
分析：将y=sinx向左平移 $\text{[math]}$ 个单位，得到y=sin（x+ $\text{[math]}$ ），纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 $\text{[math]}$ ，变形为y=sin（2x+ $\text{[math]}$ ），横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，变形为y=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），得到f（x）的解析式，
（1）找出ω的值，代入周期公式，即可求出f（x）的最小正周期；根据正弦函数的对称轴为kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈Z，列出关于x的方程，求出方程的解得到f（x）的对称轴；
（2）由f（C）=2，将x=C代入f（x）解析式中，使其值等于2，整理后根据C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值，求出C的度数，利用余弦定理得到c²=a²+b²-2abcosC，利用完全平方公式变形后，将c，cosC及ab的值代入，求出a²+b²=7，与ab=2 $\text{[math]}$ 联立，根据a大于b，即可求出a与b的值．
点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：余弦定理，三角函数的图象变换，三角函数的周期性及其求法，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．